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整数問題です
$1+8×10^n$
が平方数になるような自然数$n$をすべて求めよ.
という問題が分かりません.
回答
一般に平方数を3(or4)で割った余りは0or1
8× 10ⁿを3で割った余りは2、4で割った余りは0より与式を3で割った余りは0、4で割った余りは1
∴与式は奇数かつ3の倍数でこれが平方数となるとき、もとの自然数も同様であり、またこれに限る
すなわち、1+8×10ⁿ=(6k+3)² と表せて右辺を展開して整理すると
2(10ⁿ−1)=9(k²+k)
2と9は互いに素であるため、10ⁿ−1=9⇔n=1の必要があり、このとき与式は81=9²となり適する
∴求める自然数nは1
2(10ⁿ−1)=9(k²+k) 2と9は互いに素であるため、10ⁿ−1=9⇔n=1の必要があり、 >この部分ですが10^n-1が9の倍数であれば十分な気がします。