上極限値と下極限値の効率的な導出方法について

画像の問いに対して、私の考え方が少し非効率な気がします。 もう少し効率的に解くための考え方やアプローチ、 定理などを教えていただけると幸いです。

こんばんは。 $ \sin $ の２倍角の公式を逆に使って $ a_n = \dfrac{1}{2} \sin \dfrac{n \pi}{2} $ と書けます。よって $ a_n $ が取る値は $ 0 , \pm \dfrac{1}{2} $　だけです。 $ - \dfrac{1}{2} \leqq a_n \leqq \dfrac{1}{2} $ と書いた方がカッコイイかも。