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傾いた円柱の断面積

    trical tre (id: 1421) (2022年11月8日0:08)
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    以下のような条件の下、円柱の断面積を求めたいのですが、自力では歯が立ちませんでした。 数学が得意な方、力を貸していただきたいです。 z軸から角度α、x軸から角度β傾いた軸aを考えます。 この軸aと中心軸が一致し、断面積Sである無限に長い円柱を考えます。 この円柱をz軸に垂直な面(xy平面)で切断した場合、その断面積S'はS/cosαとなると思います。 切断する面を、y軸を回転軸としてθだけ傾けた際 、円柱の断面積S'をα、β、θを用いて表すことはできますでしょうか。 (補足ですがθ=90度の時、切断面はyz平面となります) よろしくお願いいたします。

    CamScanner 11-07-2022 15.07_4.jpg

    回答

    くさぼうぼう : (id: 1236) (2022年11月8日14:59)
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    こんにちは。 見当はずれだったらごめんなさい。 円柱をy軸を中心にθだけ回転した後の円柱の中心軸とz軸とのなす角α’(のcos)がわかれば、$ S' = \dfrac{S}{ \cos \alpha ' } $ で求まります。 円柱の軸上のある点を $ \overrightarrow{OP} = (x,y,z) $ として、この点をy軸を中心にしてθだけ回転した点をQする。 また、OPの長さをrとしておきます。 y軸中心の回転移動の行列 $$ R_y = \begin{pmatrix} \cos \theta & 0 & - \sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix} $$ を用いて  $ \overrightarrow{OQ} = R_y \overrightarrow{OP} $ …①この先の計算を書くのが大変なのでおまかせします。また、この行列については線形代数で。ネットで http://fnorio.com/0098spherical_trigonometry1/spherical_trigonometry1.html などをご覧ください。 ベクトルの内積を利用すると2つのベクトルのなす角の余弦がわかるので… z方向の単位ベクトルを $ e_z $ として、それと$ \overrightarrow{OQ} $ の内積を求めると(途中略) $ e_z ・ \overrightarrow{OQ} = x \sin \theta + z \cos \theta $ これが内積の定義より $ | e_z | × | \overrightarrow{OQ} | × \cos \alpha ' = 1 × r × \cos \alpha ' $ だから、 $ \cos \alpha ' = \dfrac{x \sin \theta + z \cos \theta }{r} $ あとはこれに $ x = r \sin \alpha \cos \beta , z = r \cos \alpha $ を代入すれば、z軸と移動後の中心軸とのなす角α’の余弦がα、β、θの式として求まります。 途中を書くのが大変だから省略です。ゴメン。 計算には自信がないし、計算間違いは得意なので計算結果は保証しませんが、私の結果は $ \cos \alpha ' = \sin \alpha \cos \beta \sin \theta + \cos \alpha \cos \theta $ になりました。違ってたらごめんなさい。計算はご自分で! なんか、読み直してみたらかえって難しく書いちゃったみたいな気がします。 要点は、中心軸上の点P(x,y,z)(極座標ではP(r、α、β))のθ回転後のQのz座標を求めればいいのです。OP=r。y軸方向から見たxz平面を書いて考えれば、図でも求まります。ゴメン! お読みになった後、これでわかったとか、この辺がわからんとか、コメント欄に書いてください。反応がないと書いた甲斐がないので。よろしく。
    trical tre (id: 1421) (2022年11月8日16:53)
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    くさぼうぼう です様 ご回答していただき誠にありがとうございます。 「要点は、中心軸上の点P(x,y,z)(極座標ではP(r、α、β))のθ回転後のQのz座標を求めればいいのです」 このコメントのおかげで、どのようにアプローチをすれば良いのか、はっきりと理解をすることができました! まだ自力で求められた訳ではないので、もう一度じっくりと考えてみようと思います。 前半部分に関しましては、大変ご丁寧に解説していただきありがとうございます。 おかげさまで数学が苦手な私でも、流れを理解することができました。 図での理解も大事ですが、式での理解も大事だと思いますので、解説をしていただき助かっております。 特に最初の回転行列に関してはすっかり頭から抜け落ちておりましたので、良い復習となりましたし 任意の回転に対して応用できそうですので、大変良い勉強となりました。 途中の計算はまだ追えていないので、自力で計算を行い理解を深めていきたいと思います。 ありがとうございました!

    くさぼうぼう : (id: 1236) (2022年11月8日20:15)
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    お役にたてたのなら良かったです。がんばって計算をしてみてください。

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