傾いた円柱の断面積

以下のような条件の下、円柱の断面積を求めたいのですが、自力では歯が立ちませんでした。 数学が得意な方、力を貸していただきたいです。 z軸から角度α、x軸から角度β傾いた軸aを考えます。 この軸aと中心軸が一致し、断面積Sである無限に長い円柱を考えます。 この円柱をz軸に垂直な面(xy平面)で切断した場合、その断面積S'はS/cosαとなると思います。 切断する面を、y軸を回転軸としてθだけ傾けた際 、円柱の断面積S'をα、β、θを用いて表すことはできますでしょうか。 (補足ですがθ=90度の時、切断面はyz平面となります） よろしくお願いいたします。

こんにちは。 見当はずれだったらごめんなさい。 円柱をy軸を中心にθだけ回転した後の円柱の中心軸とｚ軸とのなす角α’（のcos）がわかれば、$ S' = \dfrac{S}{ \cos \alpha ' } $ で求まります。 円柱の軸上のある点を $ \overrightarrow{OP} = (x,y,z) $ として、この点をy軸を中心にしてθだけ回転した点をQする。 また、OPの長さをｒとしておきます。 y軸中心の回転移動の行列　$$ R_y = \begin{pmatrix} \cos \theta & 0 & - \sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix} $$ を用いて　 $ \overrightarrow{OQ} = R_y \overrightarrow{OP} $ …①この先の計算を書くのが大変なのでおまかせします。また、この行列については線形代数で。ネットで　http://fnorio.com/0098spherical_trigonometry1/spherical_trigonometry1.html　などをご覧ください。 ベクトルの内積を利用すると２つのベクトルのなす角の余弦がわかるので… ｚ方向の単位ベクトルを　$ e_z $ として、それと$ \overrightarrow{OQ} $ の内積を求めると（途中略） $ e_z ・ \overrightarrow{OQ} = x \sin \theta + z \cos \theta $ これが内積の定義より　$ | e_z | × | \overrightarrow{OQ} | × \cos \alpha ' = 1 × r × \cos \alpha ' $ だから、 $ \cos \alpha ' = \dfrac{x \sin \theta + z \cos \theta }{r} $ あとはこれに $ x = r \sin \alpha \cos \beta , z = r \cos \alpha $　を代入すれば、ｚ軸と移動後の中心軸とのなす角α’の余弦がα、β、θの式として求まります。 途中を書くのが大変だから省略です。ゴメン。 計算には自信がないし、計算間違いは得意なので計算結果は保証しませんが、私の結果は $ \cos \alpha ' = \sin \alpha \cos \beta \sin \theta + \cos \alpha \cos \theta $ になりました。違ってたらごめんなさい。計算はご自分で！ なんか、読み直してみたらかえって難しく書いちゃったみたいな気がします。 要点は、中心軸上の点P(x,y,z）（極座標ではP(r、α、β））のθ回転後のQのｚ座標を求めればいいのです。OP＝ｒ。y軸方向から見たｘｚ平面を書いて考えれば、図でも求まります。ゴメン！ お読みになった後、これでわかったとか、この辺がわからんとか、コメント欄に書いてください。反応がないと書いた甲斐がないので。よろしく。