【綿形代数】和と積の転置行列の証明の仕方が分かりません。

問3*．行列A,Bの和と積の転置方法について次の等式が成り立つことを、A,Bが3次正方行列のときに証明しなさい。 ⑴　t(A+B)=tA+tB ⑵　t(AB)=tB tA という問いがあるのですが、ネットで探してみても「3次正方行列のとき」の証明方法が見当たらず、本書(※綿形代数入門　[第2版]　森山洋一著　ムスイリ出版)にも証明の仕方や解答が載っていなかったので、どうしていいかわからず困っています。証明方法を教えてください。 また、「Σ」←これと似た記号の意味を教えてほしいです。 証明の仕方を調べた際に幾度も出てくる記号なのに、意味が分からなくてもやもやします。 【追記】 問4、問5(添付画像)も同様に証明方法が分からなかったので、教えていただけますと幸いです。よろしくお願いいたします。

こんにちは。 ネットで調べたら、３次に限らず、一般的に(1)(2)を証明していますよね。 とにかく、証明すべき左辺の第(i,j)成分と右辺の第(i,j)成分が等しいことを示せばおしまいです。 積の場合は、その中に出てくる(i,j)成分を表す式の　$ \sum_{k=1}^{n} $ のｎを３にすればいいだけです。 それとも具体的に　$ a_{11} ～ a_{33} $ 、$ b_{11} ～ b_{33} $ を使って具体的に結果を成分で計算すれば証明にはなりますが。 和について： これは３次の３も使っていないから、何次でも同じ証明になります。 行列Aの(i,j)成分を　$ (A)_{i,j} $ と書くことにすれば、 $ \left( ^t (A+B) \right)_{i,j} = \left( A+B \right)_{j,i} = a_{j,i} + b_{j,i} $ $ ( ^t A + ^tB)_{i,j} = (^t A)_{i,j} + ( ^t B )_{i,j} = a_{j,i} + b_{j,i} $ 左辺と右辺の第(i,j)成分が等しいから、行列どうしも等しい。(Q.E.D.) 積について： $ (^t (AB))_{i,j} = (AB)_{j,i} = \sum_{k=1}^3 a_{j,k} b_{k,i} $ $ (^t B ^tA)_{i,j} = \sum_{k=1}^3 b_{k,i} a_{j,k} $ 左辺と右辺の第(i,j)成分が等しいから、行列どうしも等しい。(Q.E.D.) あなたがわからないっていう「Σ」って、上にも書いた $ \sum $ のことですか？ 高校数学の数Bの数列のところに出てきますが、まさかこれではないですよね。 ほかに似ている記号って何だろう？ わかったとか、まだよくわからないとか、コメント欄に書いてください。