ぐりさんへ

ぐりさんへ 「 $ x^2- y^2 = 2z^2 $ を満たす互いに素な自然数x,y,zをすべて求めよ」に関して 互いに素になるかどうかの説明はできていませんが、 ｘ、ｙは奇奇が偶偶ですが、偶偶ではｘとｙが互いに素にならないので奇奇です。 x+y=2u,x-y=2v x=2m+1,y=2n+1と置くと、x+y=2(m+n+1)、x-y=2(m-n)だからu=m+n+1、v=m-n。 ここでｕが奇数とすると、ｍとｎは奇奇か偶偶。このときｖは偶数。 またｖが奇数とすると、m,nは偶と奇。このときｕは偶数。 よってu,vは偶数と奇数。 ①ｕが偶数でｖが奇数の時、（←u,vが互いに素であることは未確認ですが信じれば） 2uとｖは互いに素。よって(2u)v=z^2より（あなたが書いたことより） 2u＝p^2、v=q^2。ｐは偶数であることがわかるのでp=2rと書けて、x+y=2u=4r^2、x-y=2v=2q^2。 これよりx=2r^2+q^2、y=2r^2-q^2。 このときx^2-y^2=2uv=8r^2q^2=2(2rq)^2 よってz=2rq というわけで(x,y,z)=(2r^2+q^2、2r^2-q^2、2rq) ②ｕが奇数でｖが偶数の時、 uと2vは互いに素。よって(2u)v=z^2より u=p^2、v=q^2。ｑは偶数であることがわかるのでq=2rと書けて、x+y=2u=2p^2、x-y=2v=4r^2。 これよりx=p^2+2r^2、y=p^2-2r^2。 このときx^2-y^2=2uv＝8p^2r^2=2(2pr)^2 よってz=2pr よって(x,y,z)=(p^2+2r^2、p^2-2r^2、2pr) どちらにしても、２自然数s,tを用いて $ (x,y,z)=(s^2+2t^2,|s^2-2t^2|,2st) $ これらのx,y,zの組は、x^2-y^2=2z^2を満たします。 でもこれらが互いに素になるのか？これですべてなのか？そもそもｕとｖが互いに素なのか？とか、まだわからないところがありますが。 もっとも計算間違いは得意なので、途中で間違いがあるかもしれませんが。