数列

この問題のキクケ以降がわかりません。 解説よろしくお願いします🙏

こんばんは。 まずはおわび。前の宿題の２問目、因数分解ですが、そこまではあっていましたが、前のカッコはさらに因数分解できるので、そこまでやらないと大正解ではなかったです。 今度の質問、もっと前に気が付いて解いていたのですが、いやぁ、$ a_{50} $ が求められなくて難儀していました。 やっとわかったので書き始められます。 まずキクケから。 $ a_{n} +a_{n+1} = n^2+n+1 $　…① $ a_{n+1} +a_{n+2} = (n+1)^2+(n+1)+1 $　…② ②ー①を計算すると $ 2n+2 $ と求まります。 次。サ～チ。 $ a_{50} + a_{51} = 50^2+50+1 = 2551 $ はすぐにわかるのですが、そのあとが全然進まず困っていました。 むずかしいですね。 $ a_{n+2} - a_n = 2n+2 $ …③　を上手に使うことに気が付かないと、できない！ 偶数番目だけを並べた新しい数列を考えます。 $ a_2,a_4,a_6 \dots a_{48},a_{50} $ ここから $a_{2k} $ を $b_k $ と書くと、 $ b_1,b_2, b_3 \cdots b_{24},b_{25} $ です。 また、偶数ｎを考えると、n+2はその次の偶数ですので $ a_{n+2} = b_{k+1} $ と考えられ、③は $ b_{k+1} - b_k = 2 \cdot 2k +2 = 4k+2 $ 　…④と書き直せます。 ④は数列{bn}の階差数列が{4n+2}だという意味になりますので、 これを使って $ b_{25} = b_1 + \sum_{t=1}^{24} (4t+2) $ から計算して（$b_1=a_2=2)$ $ b_{25} = a_{50} = 1250 $ が求まります。ここまでが大変でした。 私の頭も鈍くなったようです。（ちなみに７０歳代です） $ a_51= 2551-1250=1301 $ 最後のツテトは、④から一般項　$b_n $ を求めれば、それが $a_{2n} です。 いやぁ、大変でしたがなんとかなってよかったです。 計算部分はちょっと面倒ですが頑張ってください。 これでわかりますか？返事はコメント欄でお願いします。