相加相乗平均の問題

$x^2 + y^2 = 2 のとき, z = xy の最大値, 最小値を求めよ.$という問題で質問です. 下図の模範解答を読んだのですが, ① そもそも最大最小の問題とはいえ, なぜこの問題で相加相乗平均を使えば解けるという発想に至るのですか? ② 6行目の等号成立条件について, なぜ成立するときは$x^2 = y^2 かつ x^2 + y^2 = 2$なのでしょうか? $x^2 = y^2$だけでは情報不足なので$x^2 + y^2 = 2$を利用して値を出したかったということでしょうか? ③ 9~12行目は「相加相乗平均を解いたら不等式が出てくる→それが成り立つことを確認→さらにそれを解いて実際に最大最小が出る→さらにそれが確かに最大最小になっていることを確認する」 という解釈で正しいですか? よろしくお願いします

おはようございます。夜１１時に閉店しますので、翌日の回答になりました。ゴメン！ こういう質問の仕方は大歓迎です！「この問題がわからないから教えて」、みたいなのには困りますが。 質問①　なぜと言われても困ります（汗）。「和が一定という条件（この問題の場合）」とか「積が一定という条件」があるような最大最小問題では考えてみる価値はあります。この解答を書いた人は相加相乗平均の手を思いついた（これは過去の経験によるものです）ので使っています。別に必ず相加相乗平均を使わなくたってできますから。あとで別なやり方を書きますのでj比べてください。 質問②　写真の２行目の式を（＊）とします。あなたが言っている $x^2 = y^2$は（＊）の等号成立条件です。これだけでは　$ x^2+y^2 = 2|xy| $ が成り立つというだけです。しかし、式②は$ x^2+y^2=2 $ という条件のもとに変形されて出てきた引式ですから、②の等号成立条件は$x^2 = y^2$　に$x^2 = y^2$も加えて初めて$ -1 ≦ xy ≦ 1$ が言えます。大丈夫でしょうか？ 質問③　ま、そんなところでしょうか。数学的にいえば、そのまえの等号成立条件が求まった（等号が成立するということが確認できた）時点で、最大値・最小値を答えればOKです。ただ、あなたの質問には問題全文がないので判定しにくいですが、「その時のｘ、ｙの値も求めよ」とかがあれば、当然９～１２行を書く必要があるでしょう。また、数学の習慣として、最大最小の問題ではそれが成り立つときの具体的な状況を書く方がいい、ということになっているので（例えばx=3のときｙは最小値ー４をとる、とかｙの最小値はー４（ｘ＝３のとき）、とか）、この解答を書いた人は記述の答案にこれを入れたんだと思います。たぶんなくても大丈夫。 さて、相加相乗平均が思いつかなくても、この問題はグラフを利用すれば一発です。これがもし穴埋め問題だったら図を描くだけで答えられます。どうやるかというと、 あなたはすでに「図形と方程式」「不等式と領域」とか「領域と最大最小」というのは学習済みでしょうか？ この問題は円 $x^2+y^2=2$ と双曲線 $y=\dfrac{a}{x}$ が共有点を持つときのａの最大最小を求めよ、というのと同じです（わかりますか？）。原点を中心に半径 $\sqrt{2}$ のえんを描き、そこに双曲線$y=\dfrac{a}{x}$ を書き加えます。双曲線は比例定数ａがプラスで大きくなれば第１，3象限で原点から離れるし、小さくなれば原点に近づきます。ａがマイナスの場合は第２，４象限ですね。円と双曲線が共有点を持てるのは両者が接するときが限界。図を書いてみればそれが(1,1)(-1,-1)(1,-1)(-1,1)であることはわかり、ａの最大値は１（(x,y)=(1,1)(-1,-1)）、最小値はー１（(x,y)=(1,1)(-1,-1)）が求まります。答案不要の穴埋めならこれで終わり。答案を書くなら円 $x^2+y^2=2$ と双曲線 $y=\dfrac{a}{x}$ からｙを消去して、分母をはらい、ｘの複２次式（４乗と２乗の式になるので$x^2=X$と置いて、Ｘの２次方程式にする）が重解を持つように判別式＝０から $a^2=1$ が出てきますよ！ これでわかりますか？ わかったとか、このあたりがよくわからんとか、コメント欄に必ず反応を書いてくださいね。それがないと、読んでくれたのか、役に立ったのかとかがわからず心配ですので。よろしく！