三角関数と極限

はさみうちの原理を使った三角関数の極限を求める問題について質問です。 $\lim_{x \to 0} x \sin \dfrac{1}{x}$ の極限を求める問題では、 $-1 \leqq sin \dfrac{1}{x} \leqq 1$ではなく、$0 \leqq |sin \dfrac{1}{x}| \leqq 1$とすることで、後に$|x|$を掛けて$ 0 \leqq |xsin \dfrac{1}{x}| \leqq |x|$となり、諸々計算していくとこれが0に近づくことが分かるという解き方になると思います。0になるならその正負について考えるなどということをする必要がなくなると学んだのですが、、、 問題集に載っていた　$\lim_{x \to 0} x^2 \cos \dfrac{1}{x}$の極限を求める問題でも、 $-1 \leqq cos \dfrac{1}{x} \leqq 1$ではなく、$0 \leqq |cos \dfrac{1}{x}| \leqq 1$　とし、後に$x^2$を掛けて問題を解いていました。$x^2$は必ず正になると思うのでなぜ絶対値にする必要があるのかわからず困っています。 よろしくお願いします。

こんにちは。久しぶりですね。 別に絶対値を取らなくたって大丈夫です。とくにあとの問題では$x^2$ は正ですからかけても不等号の向きは変わらず。でもはじめのほうのは$x$ をかけるとき、場合分けする必要があり（不等号の向きがどうなるか）、煩雑だと思ったら絶対値を付けた状態で求めます。 念のため調べたのがこちらです。 https://examist.jp/mathematics/limit/sankakukansuu-kyokugenhasamiuti/ コピー＆ペーストで見に行ってください。 これで大丈夫ですか？疑問が残りますか？いずれにしてもコメント欄に返事を書いてください。よろしく。