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不定形の解消の仕方について
極限の質問です.
「$\lim_{n \to \infty} a_n = n(\sqrt{2n^2} - \sqrt{2n^2-a^2})$の極限値を求めよ. ただし$a$は定数とする.」
私はカッコの中身をnでくくることで$ \dfrac{a^2}{n^2} $は0に近づき, カッコの中身も0に近づくから$a_n$の極限値は0になると考えました.
しかし, 回答の答えは$\dfrac{1}{3}$と異なっており, 計算ミスかとも考えましたがそうでもないようなので困っています.
模範解答への導き方は分かったのですが, なぜこの方法で解けないのかが疑問です.
よろしくお願いします.
回答
こんばんは。
いろいろ考えるのはいいことです。
確かにカッコの中は０に近づきますが、カッコの外にあるｎが無限大になっていくので、$ \infty ×０$ のパターンになり、このままでは結論が出せないのです。
これでわかりますか？