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因数定理の問題

    yuki k (id: 1433) (2022年11月14日11:47)
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    「整式$P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c$が$x^2 + 2x -3$で割り切れ, $x + 2$で割ると15余るように定数$a, b, c$の値を定めよ.」 という問題について質問です. 解答には 「$P(x)$が$x^2 + 2x -3 = (x - 1)(x + 3)$で割り切れるのは, $P(x)$が$x - 1, x + 3$のいずれでも割り切れるときである.」 と書かれていました. 例えば$6 = 2 × 3$など具体的な例を考えればなんとなく理解はできるのですが, なぜそれが必ず成り立つのかが分からず困っています. よろしくお願いします.
    「整式P(x)=2x3+ax2+bx+cP(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + cx2+2x3x^2 + 2x -3で割り切れ, x+2x + 2で割ると15余るように定数a,b,ca, b, cの値を定めよ.」
    という問題について質問です. 解答には
    P(x)P(x)x2+2x3=(x1)(x+3)x^2 + 2x -3 = (x - 1)(x + 3)で割り切れるのは, P(x)P(x)x1,x+3x - 1, x + 3のいずれでも割り切れるときである.」
    と書かれていました.
    例えば6=2×36 = 2 × 3など具体的な例を考えればなんとなく理解はできるのですが, なぜそれが必ず成り立つのかが分からず困っています.
    よろしくお願いします.

    回答

    くさぼうぼう : (id: 1236) (2022年11月14日12:26)
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    こんにちは。 例えば24が4で割り切れるのは、24が24=4×〇と書けるからです。 24が2でも3でも割り切れるのは、24=2×3×△と書けるからです。 逆に36=9×♡と書けるから、36は9で割り切れるし、 36=2×9×♢と書けるから、36は2でも9でも割り切れます。 36が6で割り切れるときは、36=6×●と書けますが、さらに 36=2×3×●と考えてやれば、36は2でも3でも割り切れることがわかります。 $ P(x) $ が $ x^2+2x-3 $ で割り切れるときは、 $ P(x)= (x^2+2x-3) (x の1次式) $ とかけるはず。 つまり $ P(x)=(x-1)(x+3)(x の1次式) $ となるので、 $ P(x) $ は $ x-1 $ でも $x+3 $ でも割り切れることは確実です! 上の36の最後の例と比べてみてください。 多項式または整数を積の形に書いた時、積を作るそれぞれの式あるいは数を因数といいますが、因数は約数と同じ意味で、もとの多項式あるいは整数を割り切ります。 これでわかりますか? わかったとか、まだこのへんがわからないとか、納得できないとか、コメント欄に反応を書いてください。それがないと役に立ったのかどうかもわからないので。よろしく。
    こんにちは。

    例えば24が4で割り切れるのは、24が24=4×〇と書けるからです。
    24が2でも3でも割り切れるのは、24=2×3×△と書けるからです。
    逆に36=9×♡と書けるから、36は9で割り切れるし、
    36=2×9×♢と書けるから、36は2でも9でも割り切れます。
    36が6で割り切れるときは、36=6×●と書けますが、さらに
    36=2×3×●と考えてやれば、36は2でも3でも割り切れることがわかります。

    P(x) P(x)  が x2+2x3 x^2+2x-3 で割り切れるときは、
    P(x)=(x2+2x3)(xの1次式) P(x)= (x^2+2x-3) (x の1次式)  とかけるはず。
    つまり P(x)=(x1)(x+3)(xの1次式) P(x)=(x-1)(x+3)(x の1次式) となるので、
    P(x) P(x)  は x1 x-1 でも x+3x+3  でも割り切れることは確実です!
    上の36の最後の例と比べてみてください。

    多項式または整数を積の形に書いた時、積を作るそれぞれの式あるいは数を因数といいますが、因数は約数と同じ意味で、もとの多項式あるいは整数を割り切ります。

    これでわかりますか?

    わかったとか、まだこのへんがわからないとか、納得できないとか、コメント欄に反応を書いてください。それがないと役に立ったのかどうかもわからないので。よろしく。
    yuki k (id: 1433) (2022年11月15日0:06)
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    納得出来ました. ありがとうございました.

    くさぼうぼう : (id: 1236) (2022年11月15日10:18)
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    それなら良かったです。

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